PEMBAHASAN ETS SISLIN SEMESTER GENAP 2014

1552 days ago by fahim

1. Diberikan signal eksponensial kompleks x(t)=e^{i\omega_0 t} dengan frekuensi \omega_0 dan periode

    fundamental T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}. Suatu signal diskrit x[n] diperoleh dari sugnal kontinu x(t)

    melalui pensamplingan seragam dengan interval sampling T_s yaitu x[n]=x(nT_s)=e^{i\omega_0 nT_s}.

    Dapatkan kondisi untuk nilai T_s supaya x[n] periodik.

JAWAB  

Bila x[n] periodik dengan periode fundamental N_0, maka x[n]=x[n+N_0],\ \forall n\in\mathbb{Z}. Didapat

             \begin{eqnarray*}e^{i\omega_0 (n+N_0)T_s}&=&e^{i\omega_0 nT_s}e^{i\omega_0 N_0T_s}\\ &=& e^{i\omega_0 nT_s}\end{eqnarray*}

Jadi haruslah e^{i\omega_0 N_0T_s}=1  atau  \omega_0 N_0T_s=2\pi m,\ \ m\in\mathbb{Z}. Didapat

                         N_0T_s=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\ m\ =\ T_0m,\ \ m\in\mathbb{Z}

atau

                             \dfrac{T_s}{T_0}\ =\ \dfrac{m}{N_0}   bilangan rasional.                                             \blacksquare

 
       

2. Periksa apakah sistem berikut stabil BIBO atau tidak :

a. y[n]=\cos(x[n]), dengan x[n] adalah signal input real.

b. y(t)=\dfrac{e^{x(t)}}{x(t)}  dengan  |x(t)|<M, M\in\mathbb{R}.

JAWAB

a. Untuk |x[n]|\leq c,\ \forall n\in\mathbb{Z} dan c>0, maka

    |y(t)|=|\cos(x[n])|\leq 1. Jadi sistem stabil BIBO.

b. y(t)=\dfrac{e^{x(t)}}{x(t)}  dengan  |x(t)|<M,\ \forall t\in\mathbb{R} dan M\in\mathbb{R}, maka

         \begin{eqnarray*}|y(t)| &=& \left| \dfrac{e^{x(t)}}{x(t)} \right|\\ &=& \dfrac{|e^{x(t)}|}{|x(t)|}\\ &=& \dfrac{1}{|x(t)|}\left| 1+\dfrac{|x(t)|}{1!}+\dfrac{|x(t)|^2}{2!}+\dfrac{|x(t)|^3}{3!}+\ldots\right|\\ &\leq&\dfrac{1}{a}\left( 1+\dfrac{a}{1!}+\dfrac{a^2}{2!}+\dfrac{a^3}{3!}+\ldots\right),\ \ \ \mathrm{dengan}\ \  a=|x(t)|\\&=&\dfrac{e^a}{a}\\&\leq&\dfrac{e^M}{a}\ \ \in\mathbb{R}\end{eqnarray*}

     Terlihat bahwa sistem stabil BIBO.                                                          \blacksquare

 
       

3. Diketahui respon impuls sistem adalah

                       h(t)=u_0(t-1)-2u_0(t-2),

     dapatkan dan gambarkan respon y(t) untuk semua t dari sistem terhadap input

                      x(t)=t[u_0(t)-u_0(t-2)].

JAWAB

Transformasi Laplace dari h(t) dan x(t) masing-masing adalah

           

 H(s)=e^{-s}\dfrac{1}{s}\ -\ 2e^{-2s}\dfrac{1}{s}

var('t') u0=unit_step(t); u1=unit_step(t-1) u2=unit_step(t-2) u3=unit_step(t-3) u4=unit_step(t-4) u6=unit_step(t-6) var('s') h=u1-2*u2 H=h.laplace(t,s) show('cek menggunakan SAGE') show('H(s)=') show(H) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|H(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{2 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s} + \frac{e^{\left(-s\right)}}{s}

dan

           X(s)=\dfrac{1}{s^2}-2e^{-2s}\dfrac{1}{s}\ -\ e^{-2s}\dfrac{1}{s^2}.

x=t*(u0-u2) X=x.laplace(t,s) show('cek menggunakan SAGE') show('X(s)=') show(X) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|X(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{2 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s} - \frac{e^{\left(-2 \, s\right)}}{s^{2}} + \frac{1}{s^{2}}

Didapat

   \begin{eqnarray*} Y(s)&=& H(s)X(s)\\ &=&\left(e^{-s}\dfrac{1}{s}\ -\ 2e^{-2s}\dfrac{1}{s} \right)\left( \dfrac{1}{s^2}-2e^{-2s}\dfrac{1}{s}\ -\ e^{-2s}\dfrac{1}{s^2}\right)\\ &=& e^{-s}\dfrac{1}{s^3}-2e^{-2s}\dfrac{1}{s^3}-e^{-3s}\dfrac{1}{s^3}+2e^{-4s}\dfrac{1}{s^3}-2e^{-3s}\dfrac{1}{s^2}+4e^{-4s}\dfrac{1}{s^2}\end{eqnarray*}

Lakukan invers transformasi Laplace terhadap Y(s) didapat

\begin{eqnarray*} y(t) &=&\dfrac{1}{2}(t-1)^2u_0(t-1)-(t-2)^2u_0(t-2)-\dfrac{1}{2}(t-3)^2u_0(t-3)\\&&\ \ \ \ \ \ \ \ \ +(t-4)^2u_0(t-4)-2(t-3)u_0(t-3)+4(t-4)u_0(t-4)\\ &=&\dfrac{1}{2}(t-1)^2u_0(t-1)-(t-2)^2u_0(t-2)-\dfrac{1}{2}(t^2-2t-3)u_0(t-3)+(t^2-4t)u_0(t-4) \end{eqnarray*}

Y=H*X; show('cek menggunakan SAGE') show('Y(s)=') Y=expand(Y) show(Y) y=inverse_laplace(Y,s,t) show('y(t)=') show(y) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|Y(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{4 \, e^{\left(-4 \, s\right)}}{s^{2}} - \frac{2 \, e^{\left(-3 \, s\right)}}{s^{2}} + \frac{2 \, e^{\left(-4 \, s\right)}}{s^{3}} - \frac{e^{\left(-3 \, s\right)}}{s^{3}} - \frac{2 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s^{3}} + \frac{e^{\left(-s\right)}}{s^{3}}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|y(t)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{4 \, e^{\left(-4 \, s\right)}}{s^{2}}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(-\frac{2 \, e^{\left(-3 \, s\right)}}{s^{2}}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{2 \, e^{\left(-4 \, s\right)}}{s^{3}}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(-\frac{e^{\left(-3 \, s\right)}}{s^{3}}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(-\frac{2 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s^{3}}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{e^{\left(-s\right)}}{s^{3}}, s, t\right)
y=1/2*(t-1)^2*u1-(t-2)^2*u2-1/2*(t^2-2*t-3)*u3+(t^2-4*t)*u4 p=plot(y, xmin=-0.5, xmax=6, ymin=-2.5, ymax=1.5,legend_label='$y(t)$',figsize=[5,3],thickness=3) show(p) 
       

4. Diberikan respon dari fungsi unda sebagai berikut

                     y(t)=2u_0(t)-e^{-5t}u_0(t),

     tentukan respon impuls sistem tersebut. Juga tentukan respon sistem

     jika diberikan input

                     x(t)=3[u_0(t-2)-u_0(t-6)].

JAWAB

Transformasi Laplace dari y(t) dan input u_0(t) masing-masing adalah

       

Y(s)=\dfrac{2}{s}\ -\ \dfrac{1}{s+5}  dan  U(s)=\dfrac{1}{s}   

y=2*u0-exp(-5*t)*u0 Y=y.laplace(t,s) U=u0.laplace(t,s) show('cek menggunakan SAGE') show('Y(s)=') show(Y) show('U(s)=') show(U) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|Y(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{1}{s + 5} + \frac{2}{s}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|U(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{s}

Bila H(s) adalah transformasi Laplace dari respon impuls h(t), maka

       Y(s)=H(x)U(s)  atau  H(s)=Y(s)/U(s)=2-\dfrac{s}{s + 5}

H=Y/U H=expand(H); show('cek menggunakan SAGE') show('H(s)=') show(H) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|H(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{s}{s + 5} + 2

Transformasi Laplace dari x(t) adalah

       X(s)=3e^{-2s}\dfrac{1}{s}-3e^{-6s}\dfrac{1}{s}.

 

     

x=3*(u2-u6) X=x.laplace(t,s) show('cek menggunakan SAGE') show('X(s)=') show(X) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|X(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{3 \, e^{\left(-6 \, s\right)}}{s} + \frac{3 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s}

Misalkan y_x(t) adalah respon terhadap input x(t), maka

 \begin{eqnarray*}Y_x(s)&=&H(s)X(s)\\ &=& \left(2-\dfrac{s}{s + 5}\right)\left( 3e^{-2s}\dfrac{1}{s}-3e^{-6s}\dfrac{1}{s}\right)\\ &=&-\frac{3 \, e^{-2 \, s}}{s + 5} + \frac{6 \, e^{-2 \,s}}{s} + \frac{3 \, e^{-6 \, s}}{s + 5} - \frac{6 \,e^{-6 \, s}}{s}\end{eqnarray*}

Y=H*X Y=expand(Y) show('cek menggunakan SAGE') show('Y(s)=') show(Y) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|Y(s)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{3 \, e^{\left(-6 \, s\right)}}{s + 5} - \frac{3 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s + 5} - \frac{6 \, e^{\left(-6 \, s\right)}}{s} + \frac{6 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s}

Lakukan invers transformasi Laplace terhadap Y_x(s) didapat

      y_x(t)=\left(6-3e^{-5(t-2)}\right)u_0(t-2)+\left(3e^{-5(t-6)}-6\right)u_0(t-6)

y=inverse_laplace(Y,s,t) show('cek menggunakan SAGE') show('y(t)=') show(y) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|cek|\phantom{x}\verb|menggunakan|\phantom{x}\verb|SAGE|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|y(t)=|
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{3 \, e^{\left(-6 \, s\right)}}{s + 5}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(-\frac{3 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s + 5}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(-\frac{6 \, e^{\left(-6 \, s\right)}}{s}, s, t\right) + \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{6 \, e^{\left(-2 \, s\right)}}{s}, s, t\right)
 
       

5. Bila diketahui 

          \dfrac{d^2y}{dt^2}+4\dfrac{dy}{dt}+3y(t)=3\dfrac{dx}{dt}\ ,\  y(0)=2, \dot{y}(0)=0, x(0)=0.

    Tentukan respon sistem Y(s) dan fungsi transfer H(s).

JAWAB

Lakukan transformasi Laplace pada Persamaan Diferensial, didapat

   s^2Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)+4sY(s)-4y(0)+3Y(s)=3X(s)-3x(0)

Dengan memasukkan nilai awal didapat

        s^2Y(s)-2s+4sY(s)-8+3Y(s)=3X(s)

atau

      (s^2+4s+3)Y(s)=2s+8 + 3X(s)

Jadi 

      Y(s)=\dfrac{2s+8}{s^2+4s+3}\ \ +\ \dfrac{3}{s^2+4s+3}\ \ X(s)

Terlihat fungsi transfer H(s) diberikan oleh

             H(s)=\dfrac{3}{s^2+4s+3} 

dengan 

             \dfrac{2s+8}{s^2+4s+3}\ \ =\ 0                                   \blacksquare