poprawka

2819 days ago by aweber

#Zadanie 2 x = var('x') f=x^3*e^(-x^2/2) print f show(parametric_plot( (x, f), (x, -5, 5))) df=expand(diff(f,x)); print 'df=',df print solve(df==0,x) d2f=expand(diff(df,x)); print 'd2f=',d2f print solve(d2f==0,x) print 'na odcinku [1,100] max jest w sqrt(3), a min w 100' print 'z dokladnoscia do 10 cyfr po przecinku max=',round(f.subs(x=sqrt(3)),10) print 'z dokladnoscia do 10 cyfr po przecinku min=',round(f.subs(x=100),10) 
       
x^3*e^(-1/2*x^2)

df= -x^4*e^(-1/2*x^2) + 3*x^2*e^(-1/2*x^2)
[
x == -sqrt(3),
x == sqrt(3),
x == 0
]
d2f= x^5*e^(-1/2*x^2) - 7*x^3*e^(-1/2*x^2) + 6*x*e^(-1/2*x^2)
[
x == -1,
x == 1,
x == -sqrt(6),
x == sqrt(6),
x == 0
]
na odcinku [1,100] max jest w sqrt(3), a min w 100
z dokladnoscia do 10 cyfr po przecinku max= 1.1594183222
z dokladnoscia do 10 cyfr po przecinku min= 0.0
# Zadanie 4 print 'Tylko obrazek' var('x,y') f=x^2+2*y+y^2 wnetrze=contour_plot(y^2-x^2,(x,-3,3),(y,-2,2),contours=[-1, 0], cmap=[(1,1,1),(1,1,1),(1,0,0)], aspect_ratio=1) poziomice=contour_plot(f,(x,-3,3),(y,-3,3), plot_points=100, contours=40, fill=False, labels=True, label_inline_spacing=1) punkt1=circle((-2,2), 0.05, rgbcolor=(0,1/2,0), fill=true) punkt2=circle((2,2), 0.05, rgbcolor=(0,1/2,0), fill=true) punkt3=circle((0,-1), 0.05, rgbcolor=(0,1/2,0), fill=true) show(wnetrze+poziomice+punkt1+punkt2+punkt3) 
       
Tylko obrazek
print 'Zadanie 5' u0=1 #punkt stycznosci v0=1 w0=1 var('x,y,z') #zmienne f=x*y^2*z^3 #równanie funkcji print 'f=',f print 'punkt',[u0,v0,w0] fu=diff(f,x) #pochodne cząstkowe fv=diff(f,y) fw=diff(f,z) fu0=fu.subs(x=u0,y=v0,z=w0) #pochodne cząstkowe w punkcie (u0,v0,w0) fv0=fv.subs(x=u0,y=v0,z=w0) fw0=fw.subs(x=u0,y=v0,z=w0) #wartosc=f.subs(u=u0,v=v0,w=w0) rownanie_stycznej=fu0*(x-u0)+fv0*(y-v0)+fw0*(z-w0) print 'rownanie stycznej', rownanie_stycznej print 'z osia ox', solve([rownanie_stycznej==0, y==0, z==0],x,y,z) print 'z osia oy', solve([rownanie_stycznej==0, x==0, z==0],x,y,z) print 'z osia oz', solve([rownanie_stycznej==0, y==0, x==0],x,y,z) 
       
Zadanie 5
f= x*y^2*z^3
punkt [1, 1, 1]
rownanie stycznej x + 2*y + 3*z - 6
z osia ox [
[x == 6, y == 0, z == 0]
]
z osia oy [
[x == 0, y == 3, z == 0]
]
z osia oz [
[x == 0, y == 0, z == 2]
]
# Zadanie 6 var('x,y,z') zmienne=[x,y,z] f=sin(pi*y)+e^(x^2+x*z+z^2) gradient=[diff(f,u) for u in zmienne] rownania=[g==0 for g in gradient] print 'równania';print rownania rozwiazania=solve(rownania,zmienne) print 'rozwiazania' for r in rozwiazania: print expand(r[0]),expand(r[1]),expand(r[2]) print 'y rozpatrujemy modulo 2' rozwiazania=[ [x == 0, y == 1/2, z == 0], [x == 0, y == 3/2, z == 0] ] 
       
równania
[(2*x + z)*e^(x^2 + x*z + z^2) == 0, pi*cos(pi*y) == 0, (x +
2*z)*e^(x^2 + x*z + z^2) == 0]
rozwiazania
x == 0 y == 2*z36 - 1/2 z == 0
x == 0 y == 2*z49 + 1/2 z == 0
y rozpatrujemy modulo 2
D2f=matrix([[diff(g,u) for u in zmienne] for g in gradient]) print 'macierz drugich pochodnych' print D2f print 'po podstawieniu wartosci' macierze=[[r,D2f.subs(r[0]).subs(r[1]).subs(r[2])] for r in rozwiazania] for ma in macierze: print 'forma kwadratowa dla', ma[0]; print ma[1]; 
       
macierz drugich pochodnych
[      (2*x + z)^2*e^(x^2 + x*z + z^2) + 2*e^(x^2 + x*z + z^2)      
0 (x + 2*z)*(2*x + z)*e^(x^2 + x*z + z^2) + e^(x^2 + x*z + z^2)]
[                                                            0      
-pi^2*sin(pi*y)                                                     
0]
[(x + 2*z)*(2*x + z)*e^(x^2 + x*z + z^2) + e^(x^2 + x*z + z^2)      
0       (x + 2*z)^2*e^(x^2 + x*z + z^2) + 2*e^(x^2 + x*z + z^2)]
po podstawieniu wartosci
forma kwadratowa dla [x == 0, y == (1/2), z == 0]
[    2     0     1]
[    0 -pi^2     0]
[    1     0     2]
forma kwadratowa dla [x == 0, y == (3/2), z == 0]
[   2    0    1]
[   0 pi^2    0]
[   1    0    2]
minory=[[ma[0],[ma[1][0,0],ma[1][0,0]*ma[1][1,1]-ma[1][0,1]^2,ma[1].determinant()]] for ma in macierze]; for mi in minory: print 'minory dla', mi[0]; print mi[1]; znaki=[[mi[0],[sgn(a) for a in mi[1]]] for mi in minory] for zn in znaki: print 'znaki dla', zn[0]; print zn[1]; for zn in znaki: if zn[1]==[1,1,1]: print 'w punkcie', zn[0], 'jest minimum lokalne' for zn in znaki: if zn[1]==[-1,1,-1]: print 'w punkcie', zn[0], 'jest maksimum lokalne' 
       
minory dla [x == 0, y == (1/2), z == 0]
[2, -2*pi^2, -3*pi^2]
minory dla [x == 0, y == (3/2), z == 0]
[2, 2*pi^2, 3*pi^2]
znaki dla [x == 0, y == (1/2), z == 0]
[1, -1, -1]
znaki dla [x == 0, y == (3/2), z == 0]
[1, 1, 1]
w punkcie [x == 0, y == (3/2), z == 0] jest minimum lokalne
print 'Zadanie 1: odp. 0' print 'Zadanie 3: odp. 5/3' print '0bliczenie tych granic nie wymaga użycia żadnych rachunków.' 
       
Zadanie 1: odp. 0
Zadanie 3: odp. 5/3
0bliczenie tych granic nie wymaga użycia żadnych rachunków.