poprawka_egzaminu

2692 days ago by aweber

#Zadanie1A var('x') print 'a+bx+cx^2+dx^3 =',taylor(tan(2*x),x,0,4) 
       
a+bx+cx^2+dx^3 = 8/3*x^3 + 2*x
#Zadanie1B var('x') print 'a+bx+cx^2+dx^3 =',taylor(tan(3*x),x,0,4) 
       
a+bx+cx^2+dx^3 = 9*x^3 + 3*x
#Zadanie2A var('x') f=(x^2+7*x+13)*e^x print expand(f) df=expand(diff(f,x)); print 'df=',df print 'zera pochodnej:' print solve(df/e^x==0,x) d2f=expand(diff(df,x)); print 'd2f=',d2f print 'zera drugiej pochodnej' print solve(d2f/e^x==0,x) print 'oś OY przeskalowana 100 razy' show(parametric_plot( (x, 100*f), (x, -10, -3)),figsize=[10,10]) 
       
x^2*e^x + 7*x*e^x + 13*e^x
df= x^2*e^x + 9*x*e^x + 20*e^x
zera pochodnej:
[
x == -5,
x == -4
]
d2f= x^2*e^x + 11*x*e^x + 29*e^x
zera drugiej pochodnej
[
x == -1/2*sqrt(5) - 11/2,
x == 1/2*sqrt(5) - 11/2
]
oś OY przeskalowana 100 razy
#Zadanie2B var('x') f=(x^2+6*x+9)*e^x print expand(f) print 'zera funkcji:' print solve(f/e^x==0,x) df=expand(diff(f,x)); print 'df=',df print 'zera pochodnej:' print solve(df/e^x==0,x) d2f=expand(diff(df,x)); print 'd2f=',d2f print 'zera drugiej pochodnej' print solve(d2f/e^x==0,x) print 'oś OY przeskalowana 100 razy' show(parametric_plot( (x, 100*f), (x, -12, -2.5)),figsize=[10,10]) 
       
x^2*e^x + 6*x*e^x + 9*e^x
zera funkcji:
[
x == -3
]
df= x^2*e^x + 8*x*e^x + 15*e^x
zera pochodnej:
[
x == -3,
x == -5
]
d2f= x^2*e^x + 10*x*e^x + 23*e^x
zera drugiej pochodnej
[
x == -sqrt(2) - 5,
x == sqrt(2) - 5
]
oś OY przeskalowana 100 razy
#Zadanie3A var('u,v,w,er,fi,wartosc') f=3/2*u^2+1/9*u^3+v^2 g=u^2+v^2-25 fu=diff(f,u) #pochodne cząstkowe f fv=diff(f,v) print 'grad(f)=',[fu,fv] rozwiazanie1=solve([fu==0,fv==0,f==wartosc],u,v,wartosc,solution_dict=True) print 'gradient zeruje się w:' print rozwiazanie1 gu=diff(g,u) #pochodne cząstkowe funkcji więzów gv=diff(g,v) print 'grad(g)=',[gu,gv] rozwiazanie2=solve([g==0,fu*gv-fv*gu==0,f==wartosc],u,v,wartosc,solution_dict=True) print 'ekstrema na brzegu koła' print rozwiazanie2 rozwiazania=rozwiazanie1+rozwiazanie2 #----------------------------------------------------------------------------------------- x=10 elipsa=contour_plot(g,(u,-x-2,x-2),(v,-x,x),contours=[0,0.01], cmap=[(1,0.8,0.5),(1,1,1),(1,1,1)], aspect_ratio=1) poziomice=contour_plot(f,(u,-x-2,x-2),(v,-x,x),plot_points=100, contours=100, fill=False, labels=True, label_inline_spacing=1) for r in rozwiazania: poziomice=circle((r[u],r[v]), 0.1, rgbcolor=(1,0,0), fill=True)+poziomice show(elipsa+poziomice,figsize=[10,10]) biegunowo=f.subs(u=er*cos(fi),v=er*sin(fi)) niecka=parametric_plot3d((er*cos(fi),er*sin(fi),f.subs(u=er*cos(fi),v=er*sin(fi))),(er,0,5),(fi,0,2*pi),color='violet') wykres=implicit_plot3d(f==w,(u,-x-1,x-1),(v,-x,x),(w,0,20*x),color='violet', opacity=0.2) for r in rozwiazania: wykres=wykres+sphere((r[u],r[v],r[wartosc]),size=0.2, color='red') show(niecka+wykres,figsize=[10,10,10]) 
       
grad(f)= [1/3*u^2 + 3*u, 2*v]
gradient zeruje się w:
[{v: 0, u: 0, wartosc: 0}, {v: 0, u: -9, wartosc: 81/2}]
grad(g)= [2*u, 2*v]
ekstrema na brzegu koła
[{v: 0, u: 5, wartosc: 925/18}, {v: 0, u: -5, wartosc: 425/18}, {v:
5, u: 0, wartosc: 25}, {v: -5, u: 0, wartosc: 25}, {v: -4, u: -3,
wartosc: 53/2}, {v: 4, u: -3, wartosc: 53/2}]
#Zadanie3A var('u,v,w,er,fi,wartosc') f=3/2*u^2+1/3*u^3+v^2 g=u^2+v^2-2 fu=diff(f,u) #pochodne cząstkowe f fv=diff(f,v) print 'grad(f)=',[fu,fv] rozwiazanie1=solve([fu==0,fv==0,f==wartosc],u,v,wartosc,solution_dict=True) print 'gradient zeruje się w:' print rozwiazanie1 gu=diff(g,u) #pochodne cząstkowe funkcji więzów gv=diff(g,v) print 'grad(g)=',[gu,gv] rozwiazanie2=solve([g==0,fu*gv-fv*gu==0,f==wartosc],u,v,wartosc,solution_dict=True) print 'ekstrema na brzegu koła' print rozwiazanie2 rozwiazania=rozwiazanie1+rozwiazanie2 #----------------------------------------------------------------------------------------- x=3 elipsa=contour_plot(g,(u,-x-1,x-1),(v,-x,x),contours=[0,0.01], cmap=[(1,0.8,0.5),(1,1,1),(1,1,1)], aspect_ratio=1) poziomice=contour_plot(f,(u,-x-1,x),(v,-x,x),plot_points=100, contours=100, fill=False, labels=True, label_inline_spacing=1) for r in rozwiazania: poziomice=circle((r[u],r[v]), 0.05, rgbcolor=(1,0,0), fill=True)+poziomice show(elipsa+poziomice,figsize=[10,10]) biegunowo=f.subs(u=er*cos(fi),v=er*sin(fi)) niecka=parametric_plot3d((er*cos(fi),er*sin(fi),f.subs(u=er*cos(fi),v=er*sin(fi))),(er,0,2^(1/2)),(fi,0,2*pi),color='violet') wykres=implicit_plot3d(f==w,(u,-x-1,x-1),(v,-x,x),(w,0,2*x),color='violet', opacity=0.2) for r in rozwiazania: wykres=wykres+sphere((r[u],r[v],r[wartosc]),size=0.05, color='red') show(niecka+wykres,aspect_ratio=true,figsize=[10,10,10]) 
       
grad(f)= [u^2 + 3*u, 2*v]
gradient zeruje się w:
[{v: 0, u: 0, wartosc: 0}, {v: 0, u: -3, wartosc: 9/2}]
grad(g)= [2*u, 2*v]
ekstrema na brzegu koła
[{v: 0, u: sqrt(2), wartosc: 2/3*sqrt(2) + 3}, {v: 0, u: -sqrt(2),
wartosc: -2/3*sqrt(2) + 3}, {v: sqrt(2), u: 0, wartosc: 2}, {v:
-sqrt(2), u: 0, wartosc: 2}, {v: -1, u: -1, wartosc: 13/6}, {v: 1,
u: -1, wartosc: 13/6}]