Rozklad prymarny

2795 days ago by J.Wisniewski

# na poczatek prosty rozklad w DIG, wszyscy to znamy, tutaj zrobiony przez (najprostszy) program maxima (interfejs sage) maxima.factor('(t^16-1)*(x^4-1)') 
       
(t-1)*(t+1)*(t^2+1)*(t^4+1)*(t^8+1)*(x-1)*(x+1)*(x^2+1)
# to samo zrobione w bardziej wyspecjalizowanym programie singular r=singular.ring(0,'(x,y,z)','dp') f=singular('(x^16-1)*(x^4-1)') singular.factorize(f) 
       
[1]:
   _[1]=1
   _[2]=x-1
   _[3]=x+1
   _[4]=x^2+1
   _[5]=x^8+1
   _[6]=x^4+1
[2]:
   1,2,2,2,1,1
# to samo ale tym razem zmieniamy charakterystyke ciala, prosze sprawdzic co dostaniemy wstawiajac np 3109 r=singular.ring(727,'(x,y,z)','dp') f=singular('(x^16-1)*(x^4-1)') singular.factorize(f) 
       
[1]:
   _[1]=1
   _[2]=x+1
   _[3]=x-1
   _[4]=x-727
   _[5]=x+727
   _[6]=x^4-727
   _[7]=x^4+727
   _[8]=x^2-727
   _[9]=x^2+727
[2]:
   1,2,2,2,2,1,1,1,1
# prosty przyklad rozkladu prymarnego idealu z wykladu R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2, order='lex') I = (x^2, x*y)*R; print "Rozpatrzmy ideal \n", I radI=I.radical(); print "\n Radykal I to \n", radI cpdI = I.complete_primary_decomposition(); print "\n Rozklad prymarny idealu I zawiera dwa idealy\n podane tutaj z odpowiadajacymi im radykalami" print "\n >> ideal prostej \n", cpdI[0] print "\n >> ideal podwojnego punktu\n", cpdI[1] 
       
Rozpatrzmy ideal 
Ideal (x^2, x*y) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over
Rational Field

 Radykal I to 
Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational
Field

 Rozklad prymarny idealu I zawiera dwa idealy
 podane tutaj z odpowiadajacym im radykalami

 >> ideal prostej 
(Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational
Field, Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over
Rational Field)

 >> ideal podwojnego punktu
(Ideal (y, x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over
Rational Field, Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y
over Rational Field)
# i jeszcze raz podobny przyklad, tym razem w pierscieniu wielomianow 3 zmiennych R.<x,y,z> = PolynomialRing(QQ, 3, order='lex') I = (x*z, x*y)*R cpdI = I.complete_primary_decomposition(); print "\n Rozklad prymarny idealu I zawiera dwa idealy\n podane tutaj z odpowiadajacymi im radykalami" print "\n >> ideal prostej \n", cpdI[0] print "\n >> ideal plaszczyzny\n", cpdI[1] 
       
 Rozklad prymarny idealu I zawiera dwa idealy
 podane tutaj z odpowiadajacym im radykalami

 >> ideal prostej 
(Ideal (z, y) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over
Rational Field, Ideal (z, y) of Multivariate Polynomial Ring in x,
y, z over Rational Field)

 >> ideal plaszczyzny
(Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Rational
Field, Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over
Rational Field)
# nastepny przyklad jest bardziej skomplikowany i klasyczny; tym razem jest to # rodzina kubik w przestrzeni degenerujaca sie do plaskiej z wlozonym punktem # zob Hartshorne, Algebraic Geometry, str 260 R.<x,y,z,t> = PolynomialRing(QQ,4, order='lex') I=(t^2*(x+1)-z^2, t*x*(x+1)-y*z, x*z-t*y, y^2-x^2*(x+1))*R I0=(t^2*(x+1)-z^2, t*x*(x+1)-y*z, x*z-t*y, y^2-x^2*(x+1), t)*R I1=(t^2*(x+1)-z^2, t*x*(x+1)-y*z, x*z-t*y, y^2-x^2*(x+1), t-1)*R cpd=I.complete_primary_decomposition(); cpd0=I0.complete_primary_decomposition(); cpd1=I1.complete_primary_decomposition(); print "Sprawdzamy, ze ideal wyjsciowy jest pierwszy \n", cpd[0]==(I,I) print "\n Rozklad prymarny idealu zawezonego dla t=1 jest trywialny \n", cpd1[0] print "\n Ale ideal zawezony do t=0 ma nietrywialny rozklad prymarny i zawiera:" print "\n >> ideal krzywej \n", cpd0[0] print "\n >> ideal punktu \n", cpd0[1] 
       
Sprawdzamy, ze ideal wyjsciowy jest pierwszy 
True

 Rozklad prymarny idealu zawezonego dla t=1 jest trywialny 
(Ideal (t - 1, y - z^3 + z, x - z^2 + 1) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y, z, t over Rational Field, Ideal (t - 1, y - z^3 + z, x
- z^2 + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z, t over
Rational Field)

 Ale  ideal zawezony do t=0 ma nietrywialny rozklad prymarny i
zawiera:

 >> ideal krzywej 
(Ideal (t, z, x^3 + x^2 - y^2) of Multivariate Polynomial Ring in x,
y, z, t over Rational Field, Ideal (t, z, x^3 + x^2 - y^2) of
Multivariate Polynomial Ring in x, y, z, t over Rational Field)

 >> ideal punktu 
(Ideal (t, z^2, y, x*z, x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x,
y, z, t over Rational Field, Ideal (t, z, y, x) of Multivariate
Polynomial Ring in x, y, z, t over Rational Field)