Algebra II

2776 days ago by oskar

\\wielomian podziału koła - dla liczby pierwszej polcyclo(5) 
       
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\\teraz wypiszmy dzielniki wielomiany dla dzielników 12 polcyclo(1) 
       
x - 1
polcyclo(2) 
       
x + 1
polcyclo(3) 
       
x^2 + x + 1
polcyclo(4) 
       
x^2 + 1
polcyclo(6) 
       
x^2 - x + 1
polcyclo(12) 
       
x^4 - x^2 + 1
\\wszystkie pojawiają się w rozkładzie wielomianu X^12-1 na czynniki nierozkładalne factor(x^12-1) 
       
[x - 1 1]

[x + 1 1]

[x^2 - x + 1 1]

[x^2 + 1 1]

[x^2 + x + 1 1]

[x^4 - x^2 + 1 1]
\\obliczmy teraz kilka grup Galois ciał rozkładu pewnych wielomianów polgalois(x^4-4*x+2) \\jest to wielomian z niekonstruowalnym pierwiastkiem 
       
[24, -1, 1, "S4"]
\\D4=symetrie kwadratu polgalois(x^4-2) 
       
[8, -1, 1, "D(4)"]
\\tu zgodnie z oczekiwaniami otrzymujemy grupę cykliczną rzędu 6 polgalois(polcyclo(9)) 
       
[6, -1, 1, "C(6) = 6 = 3[x]2"]
polgalois(polcyclo(7)) 
       
[6, -1, 1, "C(6) = 6 = 3[x]2"]
\\zobaczmy tez rozkłady wielomianów nad ciałami Z_p \\ x^12-1=(x^4-1)^3 factormod(x^12-1,3) 
       
[Mod(1, 3)*x + Mod(1, 3) 3]

[Mod(1, 3)*x + Mod(2, 3) 3]

[Mod(1, 3)*x^2 + Mod(1, 3) 3]
factormod(x^4-1,3) 
       
[Mod(1, 3)*x + Mod(1, 3) 1]

[Mod(1, 3)*x + Mod(2, 3) 1]

[Mod(1, 3)*x^2 + Mod(1, 3) 1]
factormod(x^2-1,2) 
       
[Mod(1, 2)*x + Mod(1, 2) 2]
\\zobaczmy teraz wszystkie nierozkładalne wielomiany w ZZ_2 stopnia 2 \\zgodnie z teoria powinny sie one pojawic jako dzielniki X^(2^2)-X factormod(x^4-x,2) 
       
[Mod(1, 2)*x 1]

[Mod(1, 2)*x + Mod(1, 2) 1]

[Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2)*x + Mod(1, 2) 1]
\\jest dokladnie jeden taki wielomian x^2+x+1, dodatkowo pojawiają sie wielomiany stopnia 1 \\zobaczmy dodatkowo nierozkladalne wielomiany stopnia 5 nad ZZ_2 factormod(x^(2^5)-x,2) 
       
[Mod(1, 2)*x 1]

[Mod(1, 2)*x + Mod(1, 2) 1]

[Mod(1, 2)*x^5 + Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2) 1]

[Mod(1, 2)*x^5 + Mod(1, 2)*x^3 + Mod(1, 2) 1]

[Mod(1, 2)*x^5 + Mod(1, 2)*x^3 + Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2)*x +
Mod(1, 2) 1]

[Mod(1, 2)*x^5 + Mod(1, 2)*x^4 + Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2)*x +
Mod(1, 2) 1]

[Mod(1, 2)*x^5 + Mod(1, 2)*x^4 + Mod(1, 2)*x^3 + Mod(1, 2)*x +
Mod(1, 2) 1]

[Mod(1, 2)*x^5 + Mod(1, 2)*x^4 + Mod(1, 2)*x^3 + Mod(1, 2)*x^2 +
Mod(1, 2) 1]
\\jest 6 takich wielomianow, oczywiście wszystkie ilorazy dają izomorficzne ciała 2^5-elementowe